Home › News

Начертательная геометрия

01.11.2017

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

При развертывании сложной кривой поверхности на плоскость наиболее важным этапом является построение развертки линии пересечения поверхностей, эту линию необходимо предварительно определить на эпюре.

Для этой цели применяют метод вспомогательных секущих поверхностей. Этот метод позволяет графически построить ряд точек, принадлежащих одновременно двум пересекающимся поверхностям и, последовательно соединяя полученные точки, получить линию пересечения. Указанный метод заключается в следующем:

задаем вспомогательную поверхность, пересекающую заданные поверхности;

определяем линии пересечения заданных поверхностей со вспомогательной;

определяем точки пересечения полученных линий. Вполне очевидно, что полученные точки будут принадлежать обеим заданным поверхностям.

Вид вспомогательной поверхности и её положение относительно заданных определяется для каждой конкретной задачи. Основным условием выбора вида вспомогательной поверхности является простота построения линий пересечения вспомогательной поверхности с заданными. Самые простые линии для построения – это окружность и прямая.

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Для построения линий пересечения кривых поверхностей в качестве плоскостей-посредников могут быть использованы вспомогательные секущие плоскости и вспомогательные секущие сферы. Вспомогательные секущие плоскости обычно используют в том случае, когда можно подобрать такое множество плоскостей, каждая из которых пересекает заданные поверхности по простым (с точки зрения построения) линиям.

Пример 1. Определить линию пересечения прямого кругового конуса и цилиндра (рис. 1.1).

Необходимо выбрать секущие плоскости таким образом, чтобы они пересекали данные поверхности по окружностям или прямым. Вполне очевидно, что, если пересечь конус и цилиндр горизонтальной плоскостью, то в сечениях получатся окружности, проекции которых легко построить на горизонтальной плоскости проекций. Необходимо отметить, что горизонтальная проекция окружности, получаемой на поверхности цилиндра будет совпадать с горизонтальной проекцией цилиндра, т. к. цилиндр занимает горизонтально-проецирующее положение.

Определение линии пересечения следует начинать с определения характерных точек, т. е. точек, имеющих максимальные и минимальные координаты. В данном случае характерными являются точки 1 и 4, лежащие на пересечении очерковых образующих цилиндра и конуса. Для определения промежуточных точек проводим горизонтальную секущую плоскость a . Эта плоскость пересечет поверхность конуса по окружностям радиуса R. Строим горизонтальную проекцию этой окружности и на её пересечении с проекцией цилиндра получаем горизонтальные проекции точек 2 и 6. Эти точки принадлежат одновременно трем поверхностям ‑ плоскости a , цилиндру и конусу. Фронтальные проекции точек 2 ′′ и 6 ′′ лежат на a . Проводим ещё одну горизонтальную вспомогательную плоскость b . По аналогии строим проекции точек 3 и 5. Таким образом можно построить любое количество точек

Рис. 1.1. Определение линии пересечения поверхностей вращения способом вспомогательных плоскостей (пример 1)

одновременно принадлежащим двум плоскостям. Затем, последовательно соединяя соответствующие проекции найденных точек, определим линию пересечения.

В рассмотренном примере вспомогательные секущие плоскости были взаимно параллельны. Эту же задачу можно также решить с применением пересекающихся плоскостей.