Об аксиомах геометрии
31.10.2017
В учебнике 7 класса при доказательстве утверждения о сумме острых углов прямоугольного треугольника мы исходили из того, что существует прямоугольник, две смежные стороны которого равны данным отрезкам. А откуда следует, что такой прямоугольник существует? Чтобы ответить на этот вопрос, попытаемся построить прямоугольник с заданными сторонами a и b.
27 Об аксиомах геометрии
Рассмотрим отрезок AD длины a (рис. 25). Через точку A под прямым углом к прямой AD проведем луч h и отложим на нем отрезок AB, равный b. Через точку B под прямым углом к лучу h проведем прямую p, а через точку D под прямым углом к прямой AD проведем прямую q. Наше построение завешено, но что мы получили?
Если прямые p и q пересекутся в некоторой точке C, то мы получим четырехугольник ABCD с прямыми углами A, B и D. Но откуда следует, что угол C четырехугольника будет прямым? Ведь наше доказательство этого утверждения в 7 классе (вспомните его) как раз и основывалось на существовании прямоугольника. А может быть, прямые p и q не пересекутся, т. е. окажутся параллельными. Тогда даже четырехугольника не получится.
Таким образом, вопрос о существовании прямоугольника с двумя заданными смежными сторонами остается пока открытым, и мы ответим на него чуть позже. Наряду с этим возникает и еще ряд вопросов, связанных с доказательством теорем. В наших доказательствах мы опирались, как правило, на доказанные ранее теоремы. Естественно поставить вопрос: а на чем основаны доказательства самых первых теорем геометрии, рассмотренных нами? Вспомним, например, доказательство теоремы:
из точки, не лежащей на прямой, нельзя провести два перпендикуляра к этой прямой.Мы предположили, что из точки A можно провести два перпендикуляра к данной прямой, мысленно перегнули плоскость по этой прямой, отметили точку B, на которую наложилась точка A, и обнаружили, что через точки A и B проходят две прямые, чего не может быть. Таким образом, мы исходили из того, что
О школе
Добавить комментарий!